Hvordan løse et todimensjonalt Particle in a Box

Klassisk mekanikk tyder på at sub - atomære partikler som elektroner kan spores , og deres absolutte posisjon og momentum kan bli kjent. Kvantemekanikk er et tema som ble utviklet i tidlig til midten av 1900-tallet . Det har vist seg at partikler kan også beskrives som bølger , og å vite posisjonen later en viss usikkerhet i fart. Den " Particle i en boks " er et vanlig problem i kvantemekanikk og innebærer å finne bølgefunksjonav elektroner som er plassert innenfor en energibrønn . Instruksjoner
1

Skriv ned Schrödingerligningen for to dimensjoner . Schrödingerligningen er en sentral ligning i kvantemekaniske problemer. Det tar form :

-h ^ 2 /2m ( d2Psi /dx ^ 2 + d2Psi /dy ^ 2 ) = E Psi
2

Separer variablene . Bølgen - funksjon psi kan skrives som et produkt av to funksjoner :

Psi ( x , y) = X ( x ) Y ( y)

Setter dette inn i Schrödingerligningen fører til to ligninger , en for x og en for y :

-h ^ 2 /2m ( D2X /dx ^ 2 ) = EXX

-h ^ 2 /2m ( d2Y /dx ^ 2 ) = eyy

Dette er differensial funksjoner som har kjente løsninger.
3

Skriv ned løsninger på de to differensialligninger . Løsningene er:

xNx = ROT ( 2 /Lx ) sin ( npix /L )

YNY = ROT ( 2 /Ly ) sin ( npiy /L )

psi ( x , y ) = x ( x ) Y ( y)

Psi ( x , y) = ROT ( 2 /Lx ) sin ( npix /L) * ROT ( 2 /Ly ) sin ( npiy /L )

det ligningen er den generelle løsningen til to- dimensjonale partikkel i en boks.