Hvordan kan oppnå den Integral volumet av en Hypersphere

Bare en sirkel er mengden av alle punkter i et todimensjonalt plan like langt fra et sentralt punkt og en sfære er mengden av alle punkter i tre dimensjoner like langt fra et sentralt punkt , i matematikk det finnes tilsvarende strukturer , kalt hyperspheres , i dimensjonale rom større enn tre som er mengden av alle punkter like langt fra et sentralt punkt . Følgelig , på samme måte som den integrerte volum av en kule i tre dimensjoner kan utledes med calculus , så kan de integrerte volum av disse høyere -dimensjonale tall. Instruksjoner
en

Definer koordinatsystemet som skal brukes i problemet . Selv om en hvilken som helst koordinat -system kan være laget for å fungere, virker en variant av sfæriske polarkoordinater beste. Som et eksempel, i et n- dimensjonalt rom , definerer r som avstanden til midtpunktet , theta som er asimutvinkelen og phi1 , phi2 , ... phi (n -2) som vinkelkoordinatersom strekker seg fra 0 til pi radianer.
to

Skriv ut den grunnleggende volum integral over hele hypersphere . Dette vil være den integrerte fra 0 til noen radius R for r , og over helheten av de mulige vinkler for hver kantete koordinere , 0 til 2pi for theta og 0 til pi for andre variabler . De mange integraler er tatt av en over volumelementet.
3

Sett volumelementetmed de aktuelle vilkår beregnet fra Jacobian determinant . For eksempel , for en hypersphere i fire dimensjoner , vil det være : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

For mer hjelp databehandling Jacobian , se ressursen riktige koblingen .
4

Skriv ned det endelige svaret etter å ha tatt hvert integrert i hverandre . I vårt eksempel på de fire- dimensjonale hypersphere det endelige svaret er : .

( Pi ^ 2/2 ) * radius ^ 4